Zdaje sobie sprawe, ze wiekszosc z tego forum uznaje matematyke raczej za przykry obowiazek niz za przyjemnosc.
Jednakze, ten problem wydaje mi sie na tyle ciekawy, a do tego rozwiazanie jest w sumie bardzo proste i nie wymaga specjalnej aparatury, ze postanowilem go tutaj zapostowac. Szczegolnie, ze calkiem rozwija wyobraznie.

Prosty przypadek 1
Mamy zwykla plaszczyzne rzeczywista oraz uklad wspolrzednych. W punktach (2,2), (2, -2), (-2, 2), (-2, -2) tworzymy kwadrat. W punktach (1, 1), (1, -1), (-1, 1), (-1, -1) tworzymy 4 okregi o promieniu 1 (dla pewnosci to beda takie styczne do osi ukladu oraz do bokow kwadratu). Teraz, w srodku ukladu rysujemy okrag o najwiekszym mozliwym promieniu taki, zeby nie wchodzil na tamte okregi, scisle rzecz ujmujac to bedzie taki co jest styczny zewnetrznie do nich. Oczywistym jest, ze okrag ten jest w wewnatrz kwadratu.


Prosty przypadek 2
Mamy trojwymiarowa przestrzen. W punktach
(1, 1, 1), (1, 1, -1), (1, -1, 1) ..., (-1, -1, -1) (8 punktow) budujemy sfery o promieniu 1. Sa one oczywiscie zawarte w szescianie
(2, 2, 2), (2, 2, -2), (2, -2, 2) ..., (-2, -2, -2). Teraz, w srodku ukladu wspolrzednych rysujemy sfere styczna zewnetrznie do nich. Sfera ta tez jest naturalnie wewnatrz szescianu.


Przypadek ogolny
Mamy d wymiarowa przestrzen, d jest calkowite i wieksze lub rowne od 2. W punktach (a_1, a_2, ..., a_d) gdzie a_1, a_2, ..., a_d przebiegaja wszystkie mozliwe kombinacje d liczb wsrod ktorych sa tylko 1 i -1, tworzymy d-wymiarowe sfery o promieniu 1 (tych punktow jest oczywiscie 2^d).
Wszystkie te sfery zawarte sa w kostce d wymiarowej o wierzcholkach w punktach (b_1, b_2, ..., b_d) gdzie b_1, b_2, ..., b_d analogicznie przebiegaja wszystkie kombinacje d liczb, wsrod ktorych sa tylko 2 i -2 (tych punktow naturalnie rowniez jest 2^d). Teraz, w srodku ukladu tworzymy d-wymiarowa sfere styczna zewnetrznie do tych 2^d sfer.

Problem

Czy dla kazdego d calkowitego >=2 ta sfera w srodku bedzie lezec wewnatrz (tzn. czy nie bedzie wystawac) w zdefiniowanej powyzej kostce d-wymiarowej? (tej w ktorej lezy te wszystkie 2^d sfer).


Nie wiem czy komus sie to bedzie chcialo przeczytac, post sie zrobil przydlugi bo wolalem napisac jak to wyglada dla prostszych przypadkow by nie bylo niejasnosci. Jednakze, wrazie gdyby cos bylo niezrozumiale to prosze pytac.

Zmieniony 2007-05-06 23:36:30 przez TomciO

ile ty TomciO masz lat :)?

tak ... zapytalem sie zeby innym zrobilo sie przykro jak powiesz :D

no faktycznie problem xdddddd czesc tomcio

wiesz moze gdybym nietraktowal matematyki za przykry obowiazek gdyby mi sie chcialo myslec to moze bym sie zastanowil ;]

interesujace do czego zmierzasz? ;]

i tak wszyscy skoczymy w piachu ^^
ide na kibel, brb

Czesc. Teraz 17, a 30 wrzesnia 18. Swoja droga, wszystko co tu jest napisane jest proste, wystarczy tylko dokladniej przesledzic te latwiejsze przypadki by zrozumiec jak sie tworzy ogolny. Rozwiazanie tez jest latwe.

ReSS
mam takie samo podejscie ;]

wydaje mi sie ze niebedzie wystawac...

Zmieniony 2007-05-06 23:46:06 przez Test1fy

zalezy jaka mertyke przyjmiemy bo w miejskiej i max to raczej niebardzo ale zakladam ze to zwykla euklidesowa

w zasadzie domyslam sie jak to by sie dowodzilo ale sa swieta i nie mam zamiaru tego robic :p a i z tym zagadnieniem nie mialem wiele wspolnego poza prosta maxymalizacja i minimalizacja w wiekszych wymiarach =]

Tak, metryka jest Euklidesowa (inaczej sporo by sie zmienilo ;>).

MERCY PLS !!!

przeczytalem, nie do konca rozumie d wymiarowa przestrzen :> jutro przeczytam jak bede trzezwy

postaram sie zastanowic nad tym, apropo czwarty wymiar jest to ??:>:>:>:>:??:?:> co to jesT ?:> moge jedynie podejrzewac a co z reszta d - 4 wymiarow ?:>

tylko matematyka ?:>:>:> a gdzie jest rzeczywistosc? :>

d wymiarowa przestrzen? Zwyczajnie, jest to zbior punktow, w ktorym kazdy punkt jest zadany jednoznacznie przez d liczb. Liczby te to po prostu wspolrzedne - uklad wspolrzednych w tym wypadku to d przecinajacych sie w jednym punkcie i prostopadlych do siebie prostych.

Zmieniony 2007-06-06 00:36:50 przez TomciO

xdddddddddddddddd akurat na swieta topic bajera.. /OT pozdrawiam grupe Modern Talking yo xD OT/

no dobra rozumiem, ale gdzie tu jest problem? .odległość od środka układu do "kwadratu" jes równa zawsze conajmniej 2, a jak połączysz hiperpłaszyczyznami środki tych 'sfer' to dostaniesz "kwadrat" w którym zamknięta jest nasza figura (inaczej dotyka którejś ze sfer jeżeli przecina "kwadrat") który zawieta się w tym większym 'kwadracie' hmm?

lol o.O pozdrawiam -.-

Takie cos staje sie problemem kiedy to ma sie zupelnie beztroskie zycie i nie ma innych problemow to moja opinia ;pp

albo bzdury gadam :)?

---------
maksymalny promień tej kuli to : sqrt(d)-1 (z oczywistych(?) względów (symetrie blebleble)
a odległośc, której kula nie może przekroczyć to 2? (punkt (2,0,0,0,0,0,0...,0) nalezy do tej 'kostki':> hm..ciekawe

Zmieniony 2007-06-06 14:05:55 przez Gumis

:). Mowilem, ze rozwiazanie jest proste. I dosc zaskakujace ;>.

LatFe :P

odleglosc srodka ukladu do srodka kazdej z hipersfer wynosi: sqrt(d) (pitagoras). Kazda hipersfera ma promien 1, wiec dla promien srodkowej hipersfery R=sqrt(d)-1 i wtedy bedzie ona styczna zewnetrznie do kazdej z pozostalych hipersfer.

Hiperkostka jest zlozona z punktow ktorych wszystkie wspolrzedne |b_i|<=2.

punkt o wsp (sqrt(d)-1,0,0,...,0) nalezy do naszej hipersfery (i jest to punkt ktorego jedna ze wsp. osiaga max mozliwa wartosc), jesti sqrt(d)-1 bedzie wieksze niz 2, to znaczy ze bedzie poza hiperkostka.

czyli ten hipersfera zawiera sie w hiperkostce gdy sqrt(d)-1<=2,
czyli:
sqrt(d)<=3
d<=9

dla d>9 hipersfera wylazi za hiperkostke :)

fajne :) a tak apropo kółek:
http://helmet.stetson.edu/~efriedma/mathmagic/1005.html ^^

Wszystko sie zgadza :).

tu jest ciekawe zadanko:
http://mathforum.org/wagon/spring06/p1052.html
fajny temat na pracę tak wogóle :D

TomciO, a myślałeś nad jakąś pracą na konkurs.pr.uczn? polecam ta strona ...
http://mathforum.org/wagon/
ciekawe nietrywialne problemy, które można uogólnić, wiele łatwych pytań trudniejszych i otwartych :) do wyboru do koloru :>

--niestety jak to wszystko kończy się na funkcji zeta pewnie ;>

Zmieniony 2007-06-06 14:26:50 przez Gumis

Mowiac ciekawe zadanko masz na mysli ktore ;>? Bo pierwsze to bylo na Zwardoniu rok temu (tam nawet prosili zeby rozwiazac wzgledem c :P). Ktore jeszcze z tych rownan sa robialne :P?

Gumis: myslalem. Ale raczej myslalem o jakiejs pracy teorioliczbowej. Np. moj kumpel ze szkoly napisal swietna prace (24 strony) o resztach potegowych, o ile dobrze pamietam znalazl ile dana liczba n ma w zbiorze swoich reszt, reszt k-potegowych (hm, chyba bylo to dla dowolnych n i k, ale byc moze bylo ograniczenie na n i k pierwsze? w kazdym razie i tak bardzo duzo).

no np czemu tam jest sum_{k=1}^{z-1}sqrt{n+k} =sqrt{z^{2}n +C}..może takie Czawsze istnieje:>?
(podłogi)

pokazywanie, że jak się weźmie odpowienido duże C to będzie za dużo zawsze i pokazać (dla ust z)

za małe C to będzie za mało

i na przykład, że jak raz jest za duże(dla ust.n) to zawsze będzie...jak za małe też zawsze-> masz tw. że musi istnieć coś w środku co będzie dobre:) ..

i to jakoś aproksymować? :> może być fajne :D
znajdowanie przybliżeń :> ..ale nie mam czasu na to:< widze dużo pomysłów ;D


-- o w rozwiązaniu już dużo jest :< bez sensu:P

Zmieniony 2007-06-06 14:47:09 przez Gumis