Proszę o pomoc w następujących zadaniach. Otóż potrzebuję je na jutro a nie umiem ich zbyt zrobić, a także nie mam czasu, gdyż zaraz wyjeżdzam, i wracam przed 20 :(.
Jeśli ktoś byłby uprzejmy to niech da jakąś wskazówkę, lub część rozwiązania albo rozwiązanie do choć jednego zadania.
Bo gosciowka z matmy zabije mnie jak nie będę miał przynajmniej 1/3 z tych zadań ..
Jeśli ktoś pomoże to browarek na WCG :)


Oto one:


1. Uzasadnij ze jesli dwie liczby naturalne a i b przy dzieleniu przez 7 maja rowne reszty, to roznica kwadratow liczb a i b jest podzielna przez 7.


2. wyznacz wszystkie wartosci parametru m, dla ktorych rownanie
x^2 - mx + 4 = 0
ma dwa pierwiastki takie, ze suma ich kwadratow jest rowna 3m + 2.


3. Uzasadnij ze jesli punkt F jest srodkiem boku AC trojkata prostokatnego ABC to pole prostokata DBEF jest dwa razy mniejsze od pola trojkata ABC.
Rysunek:
http://img263.imageshack.us/my.php?image=trojkattt0gs.png


4. W trojkat rownoramienny o kacie przy podstawie 30 (stopni) wpisano okrag o promieniu 3. Oblicz pole tego trojkata.


5. Rozwiaz uklad rownan i podaj jego interpretacje geometryczna:

y= | x - 1 |
x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0

oczywiscie z lewej klamerka ;p



6. Dla jakiej wartosci parametru m rownanie
| mx^2 + mx - 4 | = m
ma dokladnie trzy rozne pierwiastki.
Dla znalezionej wartosci parametru m rozwiaz to rownanie.



7. Czy liczby x^2 + y i y^2 + x (x,y- liczby calkowite dodatnie) moga byc rownoczesnie kwadratami liczb naturalnych?


8. Zbadaj liczbe miejsc zerowych wielomianu
W(x) = x^3 - mx + 2m - 8
w zaleznosci od wartosci parametru m



9. w trojkacie ABC poprowadzono dwusieczna CD. Wiadomo ze srodek okregu wpisanego w trojkat BCD pokrywa sie ze srodkiem okregu opisanego na trojkacie ABC. Wyznacz miary katow trojkata ABC.



10. Udowodnij ze liczba 3^30 - 2 * 6^15 + 2^32 jest zlozona.



11. Przekatne czworokata wpisanego w okrag sa do siebie prostopadle. Trzy kolejne boki maja dlugosci 1:2:3. Oblicz dlugosc czwartego boku.



12. Dla jakich wartosci parametru m wykresy funkcji f i g okreslonych wzorami:
f(x) = m - 3 / x
g(x) = x + m
maja co najwyzej jeden punkt wspolny?



13. Napisz rownanie okregu, ktorego srednicą jest odcinek prostek x - 2y - 6 = 0 wyciety przez hiperbole xy = 8.


14. Udowodnij ze w trojkacie prostokatnym suma przyprostokatnych jest rowna sumie srednic okregow wpisanego i opisanego na tym trojkacie.



15. Punkt O jest srodkiem okregu opisanego na trojkacie ABC. Odcinki AD i DB maja dlugosci odpowiednio rowne 9 i 4. Udowodnij wykorzystujac podobienstwo odpowiednich trojkatow ze CD = 6.
Rysunek: http://img136.imageshack.us/my.php?image=okrag4uh.png

rotfl :P gl, hf :P

1.a^2-b^2=(a-b)(a+b)

2.Ze wzorow Viete'a: x_1 + x_2 = m, x1*x2=4. Podnoszac do kwadratu pierwsze rownanie otrzymujemy, ze x_1^2 + 2x1x2 + x_2^2 = m^2
Czyli x_1^2 + x_2^2 = m^2 - 8
A chcemy zeby bylo x_1^2 + x_2^2 = 3m+2, czyli innymi slowy musi byc:
m^2 - 3m - 10 = 0
A to jest zwykle rownanie kwadratowe, ktorego pierwiastki umiesz policzyc mam nadzieje.

3. Poniewaz DF || BC oraz FE || AB to z Tw. Talesa D jest srodkiem AB, a E srodkiem BC. Teraz to juz jest chyba oczywiste o ile znasz wzory na pole : p.

12. porownujesz f(x)=g(x)
m-3/x=x+m przemnazasz przez x=/=0 i otrzmujesz rownanie kwadratowe i sprawdzasz dla jakiego m delta=0 badz mniejsza od 0

4. Zaznacz sobie punkty stycznosci okregu wpisanego. Narysuj sobie promienie do tych punktow (beda oczywiscie prostopadle do bokow). Narysuj sobie odcinki laczace wierzcholki z srodkiem okregu wpisanego. Teraz, masz 6 trojkatow prostokatnych, w ktorych znasz 1 bok oraz wszystkie katy, poniewaz srodek okregu wpisanego lezy na dwusiecznych. A wiec chyba sobie juz poradzisz.

Przechodze do tych troche ambitniejszych zadan.

7. Nie moga byc. Zalozmy bez straty ogolnosci, ze jest x>=y. Wtedy jest:
x^2 + y > x^2
Ale: x^2 + y < x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2
A wiec x^2 + y zawiera sie miedzy dwoma kwadratami i dlatego nie moze byc kwadratem.

8.W(x) = x^3 - mx + 2m - 8
W(2)=0
W(x)=(x-2)[x^2+(2-m)x+4]
f(x)=x^2+(2-m)x+4
i teraz zaloezniea delta <0 - 1 rozwiazanie
d=0 -2 rozwiazania (chyba ze rozwiazanie bedzie=2)
d>0 i f(2)=0 - 2 rozwiazania
d>0 i f(2)=/=0 - 3 rozwiazania

10. Z Malego Tw. Fermata: 7|3^6-1 oraz 7|2^6-1. Stad, latwo widac iz liczba 3^30 z dzielenia przez 7 daje reszte 1, a 2^32 reszte 4. Nietrudno tez spostrzec, ze liczba -6^15*2 z dzielenia przez 7 daje reszte 2. Dlatego liczba 3^30 + 6^15*2 + 2^32 dzieli sie przez 7 i nie jest zlozona.

Na razie spadam...

..

Zmieniony 2008-02-06 17:43:07 przez Kostek:)

pewnie koles zalatwil sobie testy gimnazjalne o0 znajoma w drukarni etc etc ?

to sa zadania maturalne a nie gimnazjalne :P heh

10. Z Malego Tw. Fermata: 7|3^6-1 oraz 7|2^6-1.


tak to na pewno z gimnazjalnego xDD

9. Powiedzmy sobie, ze przy wierzcholku A mamy kat x, przy wierzcholku B mamy kat 2y, a przy wierzcholku C kat 4z. Srodek okregu opisanego na ABC oznaczmy przez O.
Rysujesz teraz: AO, BO, CO i korzystasz z nastepujacych faktow:
-x+2y+4z = 180 (tego chyba wyjasniac nie trzeba)
-Poniewaz O jest srodkiem okregu wpisanego w trojkat BCD to lezy na przecieciu dwusiecznych katow DCB oraz ABC
-Poniewaz O jest srodkiem okregu opisanego na ABC to mamy OBC=2x, OAC=4y
-Poniewaz O jest srodkiem okregu opisanego na ABC to mamy tez |OA|=|OB|=|OC| wiec odpowiednie trojkaty sa rownoramienne

Mi stad wyszlo, ze kat przy A = 72, kat przy B = 36, kat przy C = 72 (choc oczywiscie moglem sie gdzies rabnac).

a 6ste ?

Jeśli zdajesz mature w tym roq to wstyd ;].

6. (Chyba dobrze)| mx^2 + mx - 4 | = m

mx^2 + mx - 4 = m lub mx^2 + mx - 4 = -m
delta1 = 0 i delta2 > 0 LUB delta1 > 0 i delta2 =0

jak coś to mnie popraw ktoś.

SkwierczacSuka dobrze, tylko jeszcze musisz dodac ze m ma byc wieksze od 0.

11. Niech A, B, C, D beda wierzcholkami danego czworokata. Niech tez |AB|=1, |BC|=2, |CD|=3, a P niech oznacza przeciecie przekatnych. Poniewaz odpowiednie katy sa takie same (warunek wpisywalnosci czworokata w okrag) trojkaty DCP oraz ABP sa podobne, tak samo BCP oraz ADP. Z pierwszego podobienstwa otrzymujemy |DP|/|AP|=|CP|/|BP|=3/1=3.
Dalej masz jeszcze |DP|^2 + |CP|^2 = 3, |AP|^2 + |BP|^2 = 1, |CP|^2 + |BP|^2 = 2. Z tego i poprzedniego stosunku wyliczasz sobie te wszystkie odcinki, sprawdzasz ile to jest |AP|/|BP| no i stad juz dostaniesz bardzo latwo |AD| (bo jak wczesniej wspomnialem ADP oraz BCP sa podobne).

Zmieniony 2008-02-06 19:16:11 przez TomciO

#21 aa tak zpomniałem bo to po prawej to wartość: :>

odnosnie 10 zadania lol takie twierdzenie jest w liceum ? : o

13. Rozwiązujesz ukłąd równań i to są 2 skrajne punkty Ci wychodzą. potem szukasz ze średniej srodka tego odcinka i masz środek okręgu.

14 korzystasz chybaz tego że r = (a+b-c)/2, a R = 1/2c

"odnosnie 10 zadania lol takie twierdzenie jest w liceum ? : o"

Ja chyba mialem. Ale tak szczerze mowiac to recznie policzyc 3^6 - 1 oraz 2^6 - 1 nie jest trudno ;).

Malego twierdzenia Fermata zazwyczaj nie ma w liceum.
I jeszcze cos do zad 10 . Jaka cyfra bedzie sie konczyc ta liczba?? TomciO pewnie wie ale niech sie inni sprobuja;)

Zmieniony 2008-02-06 19:30:18 przez Kostek:)

#26 weź to rozpisz bo nie łapę : )

liczba p(pierwsza) dzieli n^p-n

#27 Trójką sie bedzie konczyła. Tomcio mogłbys napisac na czym polega to twierdzenia Fermata?

Nie trójka;)

nadal nie łapę tego 10 rozpiszcie jak dla debila : )

TROJKA!

Why??

No tak mi wyszlo.. Te ostatnie cyfry bedą sie przeciez powtarzac cyklicznie....

Ja bym powiedzial, ze 1 ale liczylem w pamieci i sie moglem rabnac.

Sorry, 7+6 = 3, a nie 1 ;).

W tym 10tym mozna sobie policzyc recznie 3^6-1 oraz 2^6-1 i sprawdzic ze dziela sie przez 7, gdyby ktos mial jakies watpliwosci.

tez liczylem w pamieci:) i tez wychidzilo 1 ;p

Zmieniony 2008-02-06 19:51:59 przez Kostek:)

No, ale chcialbym wiedziec na czym polega tw. Fermata nie moglbys napisac?!

liczba p(pierwsza) dzieli n^p-n lub inaczej n^(p-1) przy dzieleniu przez p daje reszte 1 gdzie n==p

ok dzieki

I jeszcze jedno bardzo ciekawe zadanko;
2^(1/4)*4^(1/8)*8^(1/16)*16^(1/32)..........=?

ja chce do gimnazjum......

:OOOOOOO a to cos nowego :P

co do 2 TomciU sie troche walnales ,tzn zapomniales o dziedzinie bo jeden z pierwiastkow, ktore wyjda nie bedzie w przedziale zawarty ^^; A tak btw. jestes w LO, ze takie twierdzenia znasz ?:o

Masz racje ;) chory jestem wiec wybaczcie. Malego Fermata to wszyscy znaja ;>.

Hehee;]

OK, dzieki all, szczególnie Tomcio :)